一、含参不等式的解题方法与技巧

含参不等式的解题方法与技巧：

第一、口诀法：求（含字母参数）不等式（组）解集时常用口诀“大大取大；小小取小；大小小大中间找；大大小小取不了（无解）”来确定解集。

解析：通过不等式组的两个解，结合解析：利用口诀“小小取小”可知-m大于2，即可求出m的范围。

解析：根据不等式组的解集，可以在数轴上表示出（1,2】，再根据无解来判断k的取值范围，一定要特别注意等号这个特殊的点。

第二、分类讨论法：系数含有字母参数的不等式，要进行分类讨论系数的正负才能正确的确定不等式的解集，从而求出字母参数的取值范围。

【解析】此不等式的解要对x的系数进行分类讨论

当a＞-2018时，原不等式变形为：x＞1；不符合题意。

当a＜-2018时，原不等式变形为：x＜1，符合题意。

方法、规律归纳：

1、常数项含参不等式：只需要把字母参数看成已知数，用参数来表示不等式解集，再结合条件确定参数的值。

2、系数含参不等式：通过分类讨论参数的正负，利用不等式的性质三求出不等式的解集，再结合条件确定参数的取值范围。

二、有关高中不等式的例题

例4解答题

(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解．

分析：对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”，用符号表示即为“≥”；(2)小题非负整数，即指正数或零中的整数，所以此题的不等式的解必须是正整数或零．在求解过程中注意正确运用不等式性质．

解：

∴ 120-8x≥84-3(4x+1)

(2)∵10(x+4)+x≤84

∴10x+40+x≤84

∴11x≤44

∴x≤4

因为不大于4的非负整数有0，1，2，3，4五个，所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4，3，2，1，0．

例5解关于x的不等式

(1)ax+2≤bx-1(2)m(m-x)＞n(n-x)

分析：解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的，只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论，这就增加了题目的难度．此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力：它不但要知道什么时候该进行分类讨论，而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明)．

解：(1)∵ax+2≤bx-1

∴ax-bx≤-1-2

即(a-b)x≤-3

此时要依x字母系数的不同取值，分别求出不等式的解的形式．

即(n-m)x＞n2-m2

当m＞n时，n-m＜0，∴x＜n+m；

当m＜n时，n-m＞0，∴x＞n+m；

当m=n时，n-m=0，n2=m2，n2-m2=0，原不等式无解．这是因为此时无论x取任何值时，不等式两边的值都为零，只能是相等的，所以不等式不成立．

例6解关于x的不等式

3(a+1)x+3a≥2ax+3．

分析：由于x是未知数，所以把a看作已知数，又由于a可以是任意有理数，所以在应用同解原理时，要区别情况，分别处理．

解：去括号，得

3ax+3x+3a≥2ax+3

移项，得

3ax+3x-2ax≥3-3a

合并同类项，得

(a+3)x≥3-3a

(3)当a+3=0，即a=-3，得0·x≥12

这个不等式无解．

说明：在处理字母系数的不等式时，首先要弄清哪一个字母是未知数，而把其它字母看作已知数，在运用同解原理把未知数的系数化为1时，应作合理的分类，逐一讨论．

例7 m为何值时，关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)＝4(5-x)的解是非正数．

分析：根据题意，应先把m当作已知数解方程，然后根据解的条件列出关于m的不等式，再解这个不等式求出m的值或范围．注意：“非正数”是小于或等于零的数．

解：由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x

可解得 8x=20+17m

已知方程的解是非正数，所以

例8若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非负数，(2)负数，试确定k的取值范围．

分析：要确定k的范围，应将k作为已知数看待，按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之)．这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式，求出k的取值范围．这里要强调的是本题不是直接去解不等式，而是依已知条件获得不等式，属于不等式的应用．

解：由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3

可解得-2x=8k-4

即 x=2(1-2k)

(1)已知方程的解是非负数，所以

(2)已知方程的解是负数，所以

例9当x在什么范围内取值时，代数式-3x+5的值：

(1)是负数(2)大于-4

(3)小于-2x+3(4)不大于4x-9

分析：解题的关键是把“是负数”，“大于”，“小于”，“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号．

解：(1)根据题意，应求不等式

-3x+5＜0的解集

解这个不等式，得

(2)根据题意，应求不等式

-3x+5＞-4的解集

解这个不等式，得

x＜3

所以当x取小于3的值时，-3x+5的值大于-4．

(3)根据题意，应求不等式

-3x+5＜-2x+3的解集

-3x+2x＜3-5

-x＜-2

x＞2

所以当x取大于2的值时，-3x+5的值小于-2x+3．

(4)根据题意，应求不等式

-3x+5≤4x-9的解集

-3x-4x≤-9-5

-7x≤-14

x≥2

所以当x取大于或等于2的值时，-3x+5的值不大于4x-9．

例10

分析：

解不等式，求出x的范围．

解：

说明：应用不等式知识解决数学问题时，要弄清题意，分析问题中数量之间的关系，正确地表示出数学式子．如“不超过”即为“小于或等于”，“至少小2”，表示不仅少2，而且还可以少得比2更多．

例11三个连续正整数的和不大于17，求这三个数．

分析：

解：设三个连续正整数为n-1，n，n+1

根据题意，列不等式，得

n-1+n+n+1≤17

所以有四组：1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6．

说明：解此类问题时解集的完整性不容忽视．如不等式x＜3的正整数解是1、2，它的非负整数解是0、1、2．

例12将18.4℃的冷水加入某种电热淋浴器内，现要求热水温度不超过40℃，如果淋浴器每分钟可把水温上升0.9℃，问通电多多少分钟，水温才适宜？

分析：设通电多x分钟，水温才适宜．则通电x分钟水温上升了0.9x℃，这时水温是(18.4+0.9x)℃，根据题意，应列出不等式18.4+0.9x≤40，解得，x≤24．

答案：通电多24分，水温才适宜．

说明：解答此类问题时，对那些不确定的条件一定要充分考虑，并“翻译”成数学式子，以免得出失去实际意义或不全面的结论．

例13矿山*破时，为了确保安全，点燃引火线后，人要在*破前转移到300米以外的安全地区．引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒，人离开速度是5米/秒，问引火线至少需要多少厘米？

解：设引火线长为x厘米，

根据题意，列不等式，得

解之得，x≥48(厘米)

答：引火线至少需要48厘米．

*例14解不等式|2x+1|＜4．

解：把2x+1看成一个整体y，由于当-4＜y＜4时，有|y|＜4，即-4＜2x+1＜4，

巧解一元一次不等式

怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式？现结合实例介绍一些技巧，供参考．

1．巧用乘法

例1解不等式0.25x＞10.5．

分析因为0.25×4=1，所以两边同乘以4要比两边同除以0.25来得简便．

解两边同乘以4，得x＞42．

2．巧用对消法

例2解不等式

解原不等式变为

3．巧用分数加减法法则

故 y＜-1．

4．逆用分数加减法法则

解原不等式化为

，

5．巧用分数基本性质

例5解不等式

约去公因数2后，两边的分母相同；②两个常数项移项合并得整数．

例6解不等式

分析由分数基本性质，将分母化为整数和去分母一次到位可避免繁琐的运算．

解原不等式为

整理，得8x-3-25x+4＜12-10x，

思考：例5可这样解吗？请不妨试一试．

6．巧去括号

去括号一般是内到外，即按小、中、大括号的顺序进行，但有时反其道而行之即由外到内去括号往往能另辟捷径．

7．逆用乘法分配律

例8解不等式

278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)＞0．

分析直接去括号较繁，注意到左边各项均含有因式x-3而逆用分配律可速解此题．

解原不等式化为

(x-3)(278-351×2+463)＞0，

即 39(x-3)＞0，故x＞3．

8．巧用整体合并

例9解不等式

3｛2x-1-[3(2x-1)+3]｝＞5．

解视2x-1为一整体，去大、中括号，得3(2x-1)-9(2x-1)-9＞5，整体合并，得-6(2x-1)＞14，

9．巧拆项

例10解不等式

分析将-3拆为三个负1，再分别与另三项结合可巧解本题．

解原不等式变形为

得x-1≥0，故x≥1．

练习题

解下列一元一次不等式

③3｛3x+2-[2(3x+2)-1]｝≥3x+1．

答案

回答者：匿名 7-31 09:24

三、若不等式 无解,求m的取值范围

首先，由第二行应该可以推出第三行，如果这样计算结果应该是有解的情况，那么就得到2m-1<m+1,有解和无解本身就是对立的，那与2m-1<m+1这个式子对立的式子就应该是小于等于，也就是下面的式子2m-1≥m+1。再换句话说，一个式子只有有解和无解两种情况，那么在数轴中如果已经有一个大于的范围，那么剩下的就是小于等于的范围，所以会出现2m-1≥m+1这个式子。这个不算不等式的性质。如果用图表是的话，你看2m-1<x<m+1这个式子，很明显，是取得公共部分，有解，在公共部分，无解，就应该向两边发散。这个知识是和**有关的，你应该好好巩固不等式的相关题目，你应该是中学生吧，你的基础知识还有些薄弱，有待加强呦。