一、高一数学函数的知识点和例题

（一）、映射、函数、反函数

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.

2、对于函数的概念，应注意如下几点：

（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.

（2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.

（3）如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.

3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：

（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；

（2）由y=f(x)的解析式求出x=f－1(y)；

（3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f－1(x)，并注明定义域.

注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.

②熟悉的应用，求f－1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.

（二）、函数的解析式与定义域

1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：

（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑；

（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：

①分式的分母不得为零；

②偶次方根的被开方数不小于零；

③对数函数的真数必须大于零；

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等.

应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）.

（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.

已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.

2、求函数的解析式一般有四种情况

（1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.

（2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax＋b（a≠0），其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.

（3）若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.

（4）若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量（如f(－x)，等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.

（三）、函数的值域与值

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.

（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.

（3）反函数法：利用函数f(x)与其反函数f－1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如（a≠0）的函数值域可采用此法求得.

（4）配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.

（5）不等式法求值域：利用基本不等式a＋b≥[a，b∈（0，＋∞）]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.

（6）判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.

（7）利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上（或某个定义域的子集上）的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

（8）数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.

2、求函数的值与值域的区别和联系

求函数值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个小（大）数，这个数就是函数的小（大）值.因此求函数的值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.

如函数的值域是（0，16]，大值是16，无小值.再如函数的值域是（－∞，－2]∪[2，＋∞），但此函数无大值和小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的小值为2.可见定义域对函数的值域或值的影响.

3、函数的值在实际问题中的应用

函数的值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价低”，“利润大”或“面积（体积）大（小）”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得值.

（四）、函数的奇偶性

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)（或f(－x)=f(x)），那么函数f(x)就叫做奇函数（或偶函数）.

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）f(x)=－f(x)或f(－x)=f(x)是定义域上的恒等式.（奇偶性是函数定义域上的整体性质）.

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

注意如下结论的运用：

（1）不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数；

（2）f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f(x)＋g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”；

（3）奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数；

（4）奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

3、有关奇偶性的几个性质及结论

（1）一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

（2）如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数.

（3）若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立.

（4）若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的。

（5）若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)＋f(－x)是偶函数，G(x)=f(x)－f(－x)是奇函数.

（6）奇偶性的推广

函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a＋x)=f(a－x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称，即y=f(a＋x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任－x都有f(a＋x)=－f(a－x)，则y=f(x)的图象关于点（a，0）成中心对称图形，即y=f(a＋x)为奇函数.

（五）、函数的单调性

1、单调函数

对于函数f(x)定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2时，都有不等式f(x1)>（或<）f(x2)成立，称f(x)在[a，b]上单调递增（或递减）；增函数或减函数统称为单调函数.

对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：

（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.

（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.

（3）单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.

（4）注意定义的两种等价形式：

设x1、x2∈[a，b]，那么：

①在[a、b]上是增函数；

在[a、b]上是减函数.

②在[a、b]上是增函数.

在[a、b]上是减函数.

需要指出的是：①的几何意义是：增（减）函数图象上任意两点（x1，f(x1)）、（x2，f(x2)）连线的斜率都大于（或小于）零.

（5）由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增（减）函数，且（或x1>x2），这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.

5、复合函数y=f[g(x)]的单调性

若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)]（或g(b)，g(a)）上的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上单调递增；否则，单调递减.简称“同增、异减”.

在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.

6、证明函数的单调性的方法

（1）依定义进行证明.其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1<x2；②讨论f(x1)>（或<）f(x2)；③根据定义，得出结论.

（2）设函数y=f(x)在某区间内可导.

如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数.

（六）、函数的图象

函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.

求作图象的函数表达式

与f(x)的关系

由f(x)的图象需经过的变换

y=f(x)±b（b>0）

沿y轴向平移b个单位

y=f(x±a)（a>0）

沿x轴向平移a个单位

y=－f(x)

作关于x轴的对称图形

y=f(|x|)

右不动、左右关于y轴对称

y=|f(x)|

上不动、下沿x轴翻折

y=f－1(x)

作关于直线y=x的对称图形

y=f(ax)（a>0）

横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

y=af(x)

纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变

y=f(－x)

作关于y轴对称的图形

【例】定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0．

①求证：f(0)=1;

②求证：y=f(x)是偶函数；

③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f(x＋c)=－f(x)成立；试问函数f(x)是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由．

思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采用赋值法．

解答：①令x=y=0，则有2f(0)=2f2(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)=1．

②令x=0，则有f(x)＋f(－y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(－y)=f(y)，这说明f(x)为偶函数．

③分别用（c＞0）替换x、y，有f(x＋c)＋f(x)=

所以，所以f(x＋c)=－f(x)．

两边应用中的结论，得f(x＋2c)=－f(x＋c)=－[－f(x)]=f(x)，

所以f(x)是周期函数，2c就是它的一个周期．

点评：联想公式cos(x＋y)＋cos(x－y)=2cosxcosy和特殊函数y=cosx是有益的．特值代入法在解选择题时有奇效，有时对某些解答题的处理也很独特

二、高一数学**的例题讲解介绍

高一数学**的例题讲解

【例1】已知**M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，则M,N,P满足关系

A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于**M：{x|x=,m∈Z};对于**N：{x|x=,n∈Z}

对于**P：{x|x=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。

分析二：简单列举**中的元素。

解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，这时不要急于判断三个**间的关系，应分析各**中不同的元素。

=∈N，∈N，∴M N，又= M，∴M N，

= P，∴N P又∈N，∴P N，故P=N，所以选B。

点评：由于思路二只是停留在初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

变式：设**，，则( B)

A.M=N B.M N C.N M D.

解：

当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

【例2】定义**A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为

A)1 B)2 C)3 D)4

分析：确定**A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：**A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

解答：∵A*B={x|x∈A且x B}，∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。

变式1：已知非空**M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么**M的个数为

A)5个 B)6个 C)7个 D)8个

变式2：已知{a,b} A{a,b,c,d,e},求**A.

解：由已知，**中必须含有元素a,b.

**A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

评析本题**A的个数实为**{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个.

【例3】已知**A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.

∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2 B,∴?2∈A

∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

∴∴

变式：已知**A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值.

解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5

∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴

又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知**A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},**B满足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1

分析：先化简**A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。

综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

变式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

点评：在解有关不等式解集一类**问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的**。

解答：M={-1,3},∵M∩N=N,∴N M

①当时，ax-1=0无解，∴a=0②

综①②得：所求**为{-1，0，}

【例5】已知**，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。

分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解。

解答：(1)若，在内有有解

令当时，

所以a>-4,所以a的取值范围是

变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围

1、已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}， A={3，4，5}， B={1，3，6}，那么**{ 2，7，8}是()

2.如果**A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是()

A.0 B.0或1 C.1 D.不能确定

3.设**A={x|1

A.{a|a≥2｝ B.{a|a≤1｝ C.{a|a≥1｝. D.{a|a≤2｝.

5.满足{1，2，3} M{1，2，3，4，5，6}的**M的个数是()

A.8 B.7 C.6 D.5

6.**A={a2，a+1，-1}，B={2a-1，| a-2|， 3a2+4}，A∩B={-1}，则a的值是()

A.-1 B.0或1 C.2 D.0

7.已知全集I=N，**A={x|x=2n，n∈N}，B={x|x=4n，n∈N}，则()

A.I=A∪B B.I=()∪B C.I=A∪() D.I=()∪()

8.设**M=，则()

A.M=N B. M N C.M N D. N

9.**A={x|x=2n+1，n∈Z}， B={y|y=4k&plu**n;1，k∈Z}，则A与B的关系为()

A.A B B.A B C.A=B D.A≠B

10.设U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},( UA)∩B={4}，( UA)∩( UB)={1，5}，则下列结论正确的是()

A.3 A且3 B B.3 B且3∈A C.3 A且3∈B D.3∈A且3∈B

二.填空题(5分×5=25分)

11.某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人.

12.设**U={(x，y)|y=3x-1}，A={(x，y)|=3}，则 A=.

13.**M={y∣y= x2+1,x∈ R｝,N={y∣ y=5- x2,x∈ R｝,则M∪N=_ __.

14.**M={a|∈N，且a∈Z}，用列举法表示**M=_

15、已知**A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为

三.解答题.10+10+10=30

16.设**A={x, x2,y2-1｝,B={0,|x|,,y｝且A=B,求x, y的值

17.设**A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，A∩B=B，求实数a的值.

18.**A={x|x2-ax+a2-19=0｝，B={x|x2-5x+6=0｝，C={x|x2+2x-8=0｝.

(1)若A∩B=A∪B，求a的值;

(2)若 A∩B，A∩C=，求a的值.

19.(本小题满分10分)已知**A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0}.若A∩B=B，求实数a的取值范围.

20、已知A={x|x2+3x+2≥0}, B={x|mx2-4x+m-1>0,m∈R},若A∩B=φ,且A∪B=A,求m的取值范围.

21、已知**，B={x|2

参考答案

C B A D C D C D C B

26{(1,2)} R{4,3,2,-1｝ 1或-1或0

16、x=-1 y=-1

17、解：A={0，-4}又

(1)若B=，则，

(2)若B={0}，把x=0代入方程得a=当a=1时，B=

(3)若B={-4}时，把x=-4代入得a=1或a=7.

当a=1时，B={0，-4}≠{-4}，∴a≠1.

当a=7时，B={-4，-12}≠{-4}，∴a≠7.

(4)若B={0，-4}，则a=1，当a=1时，B={0，-4}，∴a=1

综上所述：a

18、.解：由已知，得B={2，3｝，C={2，-4｝.

(1)∵A∩B=A∪B，∴A=B

于是2，3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的两个根，由韦达定理知：

解之得a=5.

(2)由A∩B∩，又A∩C=，得3∈A，2 A，-4 A，由3∈A，

得32-3a+a2-19=0，解得a=5或a=-2?

当a=5时，A={x|x2-5x+6=0｝={2，3｝，与2 A矛盾;

当a=-2时，A={x|x2+2x-15=0｝={3，-5｝，符合题意.

∴a=-2.

19、解:A={x|x2-3x+2=0}={1,2},

由x2-ax+3a-5=0，知Δ=a2-4(3a-5)=a2-12a+20=(a-2)(a-10).

(1)当2

(2)当a≤2或a≥10时，Δ≥0，则B≠.

若x=1，则1-a+3a-5=0,得a=2,

此时B={x|x2-2x+1=0}={1} A;

若x=2，则4-2a+3a-5=0，得a=1,

此时B={2,-1} A.

综上所述，当2≤a<10时，均有A∩B=B.

20、解：由已知A={x|x2+3x+2}得得.(1)∵A非空，∴B=;(2)∵A={x|x}∴另一方面，，于是上面(2)不成立，否则，与题设矛盾.由上面分析知，B=.由已知B=结合B=,得对一切x恒成立，于是，有的取值范围是

21、∵A={x|(x-1)(x+2)≤0}={x|-2≤x≤1}，

B={x|1

∵，(A∪B)∪C=R，

∴全集U=R。

∴的解为x<-2或x>3，

即，方程的两根分别为x=-2和x=3，

由一元二次方程由根与系数的关系，得

b=-(-2+3)=-1，c=(-2)×3=-6

(1)**是数学上的一个基础概念，所谓的“基础概念”是不能用其他的概念加以定义的，因此我们只能通过描述它的特点和性质来认识它。

(2)对于**一定要从整体的角度来看待它.例如由“我们班的同学”组成的一个**A，则它是一个整体，也就是一个班集体;

(3)构成**的对象必须是“确定的”且“不同”的。

(4)要注意组成**的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个**，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成**的对象;另一方面，就是**本身也可以作为**的对象，如上面所提到的**A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的**B的元素.

1、确定性：

即给定一个**，每一个对象是否是该**中的元素，应该是有明确判定标准的才行，不能出现模棱两可的情况。

例如：个子比较高的同学，跑得比较快的人，素质非常高的人，试问以上的描述对象的全体构成**吗?

这些表述由于无法找到一个明确的判定标准，因此他们所描述对象就无法组成一个**。

2、互异性：

**中的元素是互不相同的，如果出现两个及以上的相同元素只能算作一个，及**中的元素是不重复出现的。

3、无序性：

即**中的元素没有次序之分，只要两个**的元素王全相同，这么这两个**就是同一**。

知识解读：

**中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性。反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成**，**中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成**的依据.

解决与**有关的问题时，要充分利用**元素的“三性”来分析解决，也就是一方面，我们要利用**元素的“三性”找到解题的“突破口”;另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”.

以下是高中数学中常用的数集及相应字母表示，在学习过程中大家比较容易混淆：

有理数集(N)、整数集(Z)、有理数集(Q)、实数集(R)

实际上，我们只需要按照它们所表示的范围依次列出，然后记熟四个英文字母即可，非常简洁高效。

注意：

(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0

(2)非负整数集内排除0的集记作N*或N+，Q+表示非负有理数。

1、**的概念

**是**论中的不定义的原始概念，教材中对**的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的**(或集)”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。

对象――即**中的元素。**是由它的元素唯一确定的。

整体――**不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。

确定的――**元素的确定性――元素与**的“从属”关系。

不同的――**元素的互异性。

2、有限集、无限集、空集的意义

有限集和无限集是针对非空**来说的。我们理解起来并不困难。

我们把不含有任何元素的**叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。

几个常用数集N、N*、N+、Z、Q、R要记牢。

3、**的表示方法

(1)列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的**都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种**：

①元素不太多的有限集，如{0，1，8}

②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，„，100}

③呈现一定规律的无限集，如{1，2，3，„，n，„}

●注意a与{a}的区别

●注意用列举法表示**时，**元素的“无序性”。

(2)特征性质描述法的关键是把所研究的**的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y=x2}，{y|y=x2}，{(x，y)|y=x2}是三个不同的**。

4、**之间的关系

三、高一数学**的基本运算知识点

当一个小小的心念变成成为行为时，便能成了习惯;从而形成性格，而性格就决定你一生的成败。成功与不成功之间有时距离很短——只要后者再向前几步。我高一频道为莘莘学子整理了《高一年级数学《**》知识点总结》，希望对你有所帮助!

高一数学**的基本运算知识点

一.知识归纳：

1.**的有关概念。

1)**(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个**(集).其中每一个对象叫元素

注意：①**与**的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②**中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个**)。

③**具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

2)**的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3)**的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，N

2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB);

2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且)

3)交集：A∩B={∈A且x∈B}

4)并集：A∪B={∈A或x∈B}

5)补集：CUA={A但x∈U}

注意：①?A，若A≠?，则?A;

②若，，则;

③若且，则A=B(等集)

3.弄清**与元素、**与**的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。

4.有关子集的几个等价关系

①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;

④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

5.交、并集运算的性质

①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;

③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;

6.有限子集的个数：设**A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

二.例题讲解：

【例1】已知**M={=m+,m∈Z},N={=,n∈Z},P={=,p∈Z}，则M,N,P满足关系

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于**M：{=,m∈Z};对于**N：{=,n∈Z}

对于**P：{=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以MN=P，故选B。

分析二：简单列举**中的元素。

解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，这时不要急于判断三个**间的关系，应分析各**中不同的元素。

=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，

=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以选B。

点评：由于思路二只是停留在初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

变式：设**，，则(B)

A.M=NB.MNC.NMD.

解：

当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

【例2】定义**AB={∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则AB的子集个数为

A)1B)2C)3D)4

分析：确定**AB子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：**A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

解答：∵AB={∈A且xB}，∴AB={1,7}，有两个元素，故AB的子集共有22个。选D。

变式1：已知非空**M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么**M的个数为

A)5个B)6个C)7个D)8个

变式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求**A.

解：由已知，**中必须含有元素a,b.

**A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

评析本题**A的个数实为**{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个.

【例3】已知**A={2+px+q=0},B={2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.

∴B={2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A

∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

∴∴

变式：已知**A={2+bx+c=0},B={2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值.

解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5

∴B={2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴

又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知**A={x(x-1)(x+1)(x+2)>0},**B满足：A∪B={>-2}，且A∩B={x1<>

分析：先化简**A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

解答：A={x-2<><-1或x>1}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1]B，而(-∞,-2)∩B=ф。<-1或x>

<><-1或x>

综合以上各式有B={x-1≤x≤5}

变式1：若A={3+2x2-8x>0}，B={2+ax+b≤0},已知A∪B={>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

点评：在解有关不等式解集一类**问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

变式2：设M={2-2x-3=0},N={xax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的**。

解答：M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM

①当时，ax-1=0无解，∴a=0②

综①②得：所求**为{-1，0，}

【例5】已知**，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。

分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解。

解答：(1)若，在内有有解

令当时，

所以a>-4,所以a的取值范围是

变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。

解答：

点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

三.随堂演练

选择题

1.下列八个关系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}

⑥0⑦{0}⑧{}其中正确的个数

(A)4(B)5(C)6(D)7

2.**{1，2，3}的真子集共有

(A)5个(B)6个(C)7个(D)8个

3.**A={x}B={}C={}又则有

(A)(a+b)A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A、B、C任一个

4.设A、B是全集U的两个子集，且AB，则下列式子成立的是

(A)CUACUB(B)CUACUB=U

(C)ACUB=(D)CUAB=

5.已知**A={}，B={}则A=

(A)R(B){}

(C){}(D){}

6.下列语句：(1)0与{0}表示同一个**;(2)由1，2，3组成的**可表示为

{1，2，3}或{3，2，1};(3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的**可表示为{1，1，2};(4)**{}是有限集，正确的是

(A)只有(1)和(4)(B)只有(2)和(3)

(C)只有(2)(D)以上语句都不对

7.设S、T是两个非空**，且ST，TS，令X=S那么S∪X=

(A)X(B)T(C)Φ(D)S

8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式，则不等式ax2+bx+c0的解集为

(A)R(B)(C){}(D){}

填空题

9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的**可表示为

10.若A={1,4,x},B={1,x2}且AB=B，则x=

11.若A={x}B={x},全集U=R，则A=

12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是

13设**A={},B={x},且AB，则实数k的取值范围是。

14.设全集U={x为小于20的非负奇数}，若A(CUB)={3，7，15}，(CUA)B={13，17，19}，又(CUA)(CUB)=，则AB=

解答题

15(8分)已知**A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若AB={-3}，求实数a。

16(12分)设A=，B=，

其中xR,如果AB=B，求实数a的取值范围。

四.习题答案

选择题

12345678

CCBCBCDD

填空题

9.{(x,y)}10.0,11.{x,或x3}12.{}13.{}14.{1,5,9,11}

解答题

15.a=-1

16.提示：A={0，-4}，又AB=B，所以BA

(Ⅰ)B=时，4(a+1)2-4(a2-1)<0，得a<-1

(Ⅱ)B={0}或B={-4}时，0得a=-1

(Ⅲ)B={0，-4}，解得a=1

综上所述实数a=1或a-1

高一数学**的基本运算知识点

**具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧急～。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。3、口号等等。**在数学概念中有好多概念，如**论：**是现代数学的基本概念，专门研究**的理论叫做**论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德国数学家先驱，是**论的，目前**论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。

**，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。**的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。

**是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是**。组成一**的那些对象称为这一**的元素(或简称为元)。

元素与**的关系

元素与**的关系有“属于”与“不属于”两种。

**与**之间的关系

某些指定的对象集在一起就成为一个****符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何**的子集，是任何非空集的真子集。任何**是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。『说明一下：如果**A的所有元素同时都是**B的元素，则A称作是B的子集，写作A?B。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了一个≠符号(如右图)，不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的**是所有人的**的真子集。』

**的几种运算法则

并集：以属于A或属于B的元素为元素的**称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以属于A且属于B的元差集表示

素为元素的**称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那么因为A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减**

1再相乘。48个。对称差集：设A，B为**，A与B的对称差集A?B定义为：A?B=(A-B)∪(B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，则A?B={a，c，d}对称差运算的另一种定义是：A?B=(A∪B)-(A∩B)无限集：定义：**里含有无限个元素的**叫做无限集有限集：令N是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一个正整数n，使得**A与N_n一一对应，那么A叫做有限**。差：以属于A而不属于B的元素为元素的**称为A与B的差(集)。记作：AB={x│x∈A，x不属于B}。注：空集包含于任何**，但不能说“空集属于任何**”.补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于**A的元素组成的**称为**A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不属于A}空集也被认为是有限**。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA={3，4}。在信息技术当中，常常把CuA写成~A。

**元素的性质

1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一**的元素，没有确定性就不能成为**，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成**。这个性质主要用于判断一个**是否能形成**。2.独立性：**中的元素的个数、**本身的个数必须为自然数。3.互异性：**中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使**中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个**中时，只能算作这个**的一个元素。4.无序性：{a，b，c}{c，b，a}是同一个**。5.纯粹性：所谓**的纯粹性，用个例子来表示。**A={x|x<2}，**A中所有的元素都要符合x<2，这就是**纯粹性。6.完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在**A中，这就是**完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。

**有以下性质

若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B

**的表示方法

**常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于**中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当于**的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给**的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。

常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限**，把**中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示**的方法叫做列举法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示无限**，把**中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示**的方法叫做描述法。{x|P}(x为该**的元素的一般形式，P为这个**的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的**表示为：{x|0

4.自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数的**通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数**，记作N(2)非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的**通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的**通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数**分别记作Q+Q-)(5)全体实数的**通常简称实数集，记作R(正实数**记作R+;负实数记作R-)(6)复数**计作C**的运算：**交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A**结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)**分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)**德.摩根律**

Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB**“容斥原理”在研究**时，会遇到有关**中的元素个数问题，我们把有限**A的元素个数记为card(A)。例如A={a，b，c}，则card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德国数学家，**论创始人康托尔谈到**一词，列举法和描述法是表示**的常用方式。**吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A**求补律A∪CuA=UA∩CuA=Φ设A为**，把A的全部子集构成的**叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=~B∩~C～(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊**的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q

高一数学**的基本运算知识点

并集：以属于A或属于B的元素为元素的**称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以属于A且属于B的元差集表示

素为元素的**称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那么因为A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减**

1再相乘。48个。对称差集：设A，B为**，A与B的对称差集A?B定义为：A?B=(A-B)∪(B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，则A?B={a，c，d}对称差运算的另一种定义是：A?B=(A∪B)-(A∩B)无限集：定义：**里含有无限个元素的**叫做无限集有限集：令N是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一个正整数n，使得**A与N_n一一对应，那么A叫做有限**。差：以属于A而不属于B的元素为元素的**称为A与B的差(集)。记作：A\B={x│x∈A，x不属于B}。注：空集包含于任何**，但不能说“空集属于任何**”.补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于**A的元素组成的**称为**A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不属于A}空集也被认为是有限**。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA={3，4}。在信息技术当中，常常把CuA写成~A。

至于学习方法的讲究，每位同学可根据自己的基础、学习习惯、智力特点选择适合自己的学习方法，这里主要根据教材的特点提出几点供大家学习时参考。

l、要重视数学概念的理解。高一数学与初中数学的区别是概念多并且较抽象，学起来“味道”同以往很不一样，解题方法通常就来自概念本身。学习概念时，仅仅知道概念在字面上的含义是不够的，还须理解其隐含着的深层次的含义并掌握各种等价的表达方式。例如，为什么函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，而y=f(x)与x=f-1(y)却有相同的图象;又如，为什么当f(x-l)=f(1-x)时，函数y=f(x)的图象关于y轴对称，而y=f(x-l)与y=f(1-x)的图象却关于直线x=1对称，不透彻理解一个图象的对称性与两个图象的对称关系的区别，两者很容易混淆。

2、‘学习立体几何要有较好的空间想象能力，而培养空间想象能力的办法有二：一是勤画图;二是自制模型协助想象，如利用四直角三棱锥的模型对照习题多看，多想。但终要达到不依赖模型也能想象的境界。

3、学习解析几何切忌把它学成代数、只计算不画图，正确的办法是边画图边计算，要能在画图中寻求计算途径。

4、在个人钻研的基础上，邀几个程度相当的同学一起讨论，这也是一种好的学习方法，这样做常可以把问题解决得更加透彻，对大家都有益。

高一数学**的基本运算知识点相关文章：

★高一数学**的基本运算的知识点分析

★高一数学**知识点及例题讲解

★高一数学**间的基本关系的知识点(2)

★高一数学**间的基本关系的知识点

★高一数学必修一**的运算知识点

★高一数学**间的基本关系知识点详解

★高一数学**知识点汇总

★高一数学**知识点及例题分析

★高一数学**知识点归纳和习题

★新课标高一数学**知识点