一、极限lim(x→0)(1-2/x)^x

e^(﹣2)

令 u=﹣2/x, lim(x->∞) u= 0

lim(x->∞)(1﹣2/x) ^ x

= lim(u->0) [(1+u)^(1/u) ] ^(﹣2)

= e^(﹣2)

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限

4、利用无穷小的性质求极限

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限

7、利用两个重要极限公式求极限

二、用拉格朗日中值定理证明当x***gt***1时***e***x***gt***ex

g(x)=e^x-ex，

g(x)在[1，x]连续，在（1，x）可导，

所以由拉格朗日中值定理存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1)，

e^w-e=(e^x-ex)/(x-1)，

即e^x-ex=(x-1)*(e^w-e)，

此时x>1且w>1所以(x-1)*(e^w-e)>0，

即e^x-ex>0;e^x>ex成立。

扩展资料：

定理表述

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

那么在开区间(a,b)内至少有一点使等式成立。

其他形式

记,令,则有

上式称为有限增量公式。

我们知道函数的微分是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高。

而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。

参考资料：拉格朗日中值定理_百度百科