一、几何平均数与加权调和平均数的关系是怎么样的

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。

调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n

平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]

这几种平均数满足 Hn≤ Gn≤ An≤ Qn。

算术平均数和调和平均数都满足平均指标的基本公式。 由于在社会经济统计中，调和平均数采用特定形式的权数，即m=xf，所以调和平均数是算术平均数的一种变形。

加权调和平均数的应用:在很多情况下，由于只掌握每组某个标志的数值总和（M）而缺少总体单位数（f）的资料，不能直接采用加权算术平均数法计算平均数，则应采用加权调和平均数。

调和平均数可以用在相同距离但速度不同时，平均速度的计算；如一段路程，前半段时速60公里，后半段时速30公里〔两段距离相等〕，则其平均速度为两者的调和平均数时速40公里。

二、数学期望和方差的关系

方差=E(x²)-E(x)²，E(X)是数学期望。

在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

方差在概率论和统计学中，一个随机变量的方差描述的是它的离散程度，也就是该变量离其期望值的距离。一个实随机变量的方差也称为它的二阶矩或二阶中心动差，恰巧也是它的二阶累积量。这就是将各个误差将之平方，相加之后再除以总数，透过这样的方式来算出各个数据分布、零散的程度。

期望值像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能状态平均的结果，便基本上等同“期望值”所期望的数。期望值可能与每一个结果都不相等。换句话说，期望值是该变量输出值的加权平均。期望值并不一定包含于其分布值域，也并不一定等于值域平均值。

赌博是期望值的一种常见应用。例如，美国的轮盘中常用的轮盘上有38个数字，每一个数字被选中的概率都是相等的。赌注一般押在其中某一个数字上，如果轮盘的输出值和这个数字相等，那么下赌者可以获得相当于赌注35倍的奖金（原注不包含在内），若输出值和下压数字不同，则赌注就输掉了。

考虑到38种所有的可能结果，然后这里我们的设定的期望目标是“赢钱”，则因此，讨论赢或输两种预想状态的话，以1美元赌注押一个数字上，则获利的期望值为：赢的“概率38分之1，能获得35元”，加上“输1元的情况37种”，结果约等于-0.0526美元。也就是说，平均起来每赌1美元就会输掉0.0526美元，即美式轮盘以1美元作赌注的期望值为负0.0526美元。

参考资料来源：百度百科——方差

参考资料来源：百度百科——数学期望

三、加权算术平均数公式平方

1、加权算术平均数是统计学中常用的一种平均数计算方法，它可以用于处理具有不同重要性或权重的数据。而平方则是数学中一个基本的运算符号，表示将一个数自乘一次。那么，加权算术平均数公式平方又是什么意思呢？

2、首先，我们来看一下加权算术平均数的计算公式：

3、$$\bar=\frac^w_i x_i}^w_i}$$

4、其中，$\bar$表示加权算术平均数，$x_i$表示第$i$个数据点的取值，$w_i$表示第$i$个数据点的权重，$n$表示数据点的总数。

5、而当我们对这个公式进行平方运算时，会得到以下的表达式：

6、$$(\bar)^2=\left(\frac^w_i x_i}^w_i}\right)^2$$

7、这个表达式可以理解为，我们先计算出加权算术平均数，然后将其自乘一次，得到一个新的数值。

8、那么这个新的数值有什么意义呢？从数学角度来说，平方运算可以使得小数变得更大，从而更能突出数据的差异性。具体来说，当数据点的权重越高，其对加权算术平均数的影响也就越大，因此平方运算可以更好地反映数据点之间的权重差异，从而更精确地衡量数据的平均值。

9、总之，加权算术平均数公式平方是一种常用的统计计算方法，可以帮助人们更准确地理解数据的分布情况。

四、加权平均数***中位数***众数总结

一组数据中如果有特别大的数或特别小的数时，一般用中位数

一组数据比较多（20个以上），范围比较集中，一般用众数

其余情况一般还是平均数比较精确

1、平均数是通过计算得到的，因此它会因每一个数据的变化而变化。

2、中位数是通过排序得到的，它不受大、小两个极端数值的影响．中位数在一定程度上综合了平均数和中位数的优点，具有比较好的代表性。部分数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势。另外，因中位数在一组数据的数值排序中处中间的位置，

3、众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度．日常生活中诸如“佳”、“受欢迎”、“满意”等，都与众数有关系，它反映了一种普遍的倾向．

二、平均数、中位数和众数它们都有各自的的优缺点．

平均数：(1)需要全组所有数据来计算；

中位数：(1)仅需把数据按顺序排列后即可确定；

(2)不易受数据中极端数值的影响．

关于“中位数、众数、平均数”这三个知识点的理解，我简单谈谈自己的认识和理解。

一组数据中出现次数多的那个数据，叫做这组数据的众数。

①众数在一组数据中出现的次数多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。

众数表示一组数据中出现次数多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。

一组数据按大小顺序排列，位于中间的一个数据(当有偶数个数据时，为中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。

5.众数、中位数及平均数的求法。

①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。

⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据；

⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数；

⑶中位数的单位与数据的单位相同；

⑷众数考察的是一组数据中出现的频数；

⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同；

（6）众数可能是一个或多个甚至没有；

（7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。

7.平均数、中位数与众数的异同：

⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；

⑵平均数、众数和中位数都有单位；

⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以为重要，应用广；

⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；

⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们为关心的数据。

平均数、众数和中位数都叫统计量，它们在统计中，有着广泛的应用。

在生活中，往往会有由多数人来从众多答案中选择一个的情形，一般都利用“举手表决”方式来解决问题。即在统计出所有提议及相应票数的情况下，看各票数的众数是否超过总票数的一半，如果众数超过了总票数的一半，选择的终答案就是这个众数。如果出现了双众数（两个众数），可对这两个众数采用抓阄、抽签或投掷硬币等办法选出终的答案。

10.平均数、众数和中位数三种统计数据在生活中的意义。

平均数说明的是整体的平均水平；众数说明的是生活中的多数情况；中位数说明的是生活中的中等水平。

11.如何通过平均数、众数和中位数对表面现象到背景材料进行客观分析。

在个别的数据过大或过小的情况下，“平均数”代表数据整体水平是有局限性的，也就是说个别极端数据是会对平均数产生较大的影响的，而对众数和中位数的影响则不那么明显。所以，这时要用众数活中位数来代表整体数据更合适。即：如果在一组相差较大的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量往往更有意义